"Aralarında asal" kavramı, sayılar birbirinden farklı görünse bile paylaştıkları gizli bölenleri yok sayan zarif bir fikirdir. Bu rehberde aralarında asallığın ne olduğunu, EBOB ve EKOK hesaplamalarını ve bu kavramların neden önemli olduğunu adım adım öğreneceğiz.
Aralarında Asal Ne Demek?
İki sayının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa, bu sayılar aralarında asaldır (çarpanları ayrı da denir).
Kritik nokta: sayıların kendilerinin asal olması gerekmez!
- 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
- 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15
- Ortak bölen yalnızca 1 → 8 ve 15 aralarında asaldır.
Ne 8 asaldır ne 15; ama aralarında asallardır!
İkisi de 2, 3 ve 6 ile bölünür. Ortak bölenler 1'den fazla olduğu için aralarında asal değildirler.
EBOB Nedir?
EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. İngilizce GCD (Greatest Common Divisor) olarak da bilinir.
- EBOB(8, 15) = 1 → aralarında asal
- EBOB(12, 18) = 6 → aralarında asal değil
- EBOB(48, 60) = 12
Aralarında asallık testi aslında tek sorudur: EBOB = 1 mi?
Euclid Algoritması ile EBOB
2300 yıldır kullanılan bu yöntem, bölmeleri tekrarlayarak EBOB'u bulur:
252 = 198 × 1 + 54 198 = 54 × 3 + 36 54 = 36 × 1 + 18 36 = 18 × 2 + 0
Son sıfır olmayan kalan 18'dir → EBOB(252, 198) = 18
Kontrol: 252 = 18 × 14, 198 = 18 × 11 ✔
Sitemizdeki Aralarında Asal mı? aracı, tam bu adımları ekranda gösterir; hem sonucu hem de "nasıl" çıktığını görürsünüz.
EKOK Nedir?
EKOK (En Küçük Ortak Kat), iki sayının ortak katlarının en küçüğüdür. LCM (Least Common Multiple) olarak da bilinir.
EBOB(12, 18) = 6 olduğundan: EKOK = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36.
Kontrol: 36 = 12 × 3 = 18 × 2 ✔
Asal Çarpanlarla EBOB ve EKOK
İki sayının asal çarpan gösterimleri biliniyorsa, hesap çok kolaylaşır:
- 84 = 2² × 3 × 7
- 90 = 2 × 3² × 5
- EBOB: ortak asalların küçük üslüleri → 2¹ × 3¹ = 6
- EKOK: bütün asalların büyük üslüleri → 2² × 3² × 5 × 7 = 1260
- Kontrol: 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90 ✔
| İşlem | Kural |
|---|---|
| EBOB | Ortak asal çarpanların küçük üsleri çarpılır |
| EKOK | Tüm asal çarpanların büyük üsleri çarpılır |
| Aralarında asal | Ortak asal çarpan yok ≡ EBOB = 1 |
Üç Sayı İçin Aralarında Asallık
Üç sayı için EBOB 1 ise aralarında asallardır. Sırayla hesaplayabilirsiniz: EBOB(a, b) = d bulup sonra EBOB(d, c) hesaplayın.
- EBOB(6, 10) = 2
- EBOB(2, 15) = 1
- Sonuç: üçü birlikte aralarında asaldır (her ikisi ayrı ayrı değil ama: 6 ve 10 aralarında asal değil).
Nerede İşimize Yarar?
- Kesir sadeleştirme: 18/24 → EBOB 6 → 3/4. Kesir sadeleştirmek = pay ve paydayı EBOB'a bölmek.
- Ortak paydaya indirme: EKOK, kesirleri toplarken ortak paydayı bulmak için kullanılır.
- Periyodik olaylar: İki tramvayın 12 ve 18 dakikada bir kalkması durumunda birlikte kalkmaları için geçen süre EKOK(12, 18) = 36 dakikadır.
- Kriptografi: RSA'da anahtar üretimi, seçilen iki asal sayının aralarında asal olmasına dayanır.
İki sayıdan biri diğerini tam bölüyorsa (örn. 7 ve 35), EBOB küçük sayıdır (7) ve aralarında asal değildirler. İkisi de asal ise ve farklıysa, EBOB kesinlikle 1'dir.
Adım Adım Özet
- İki sayıyı asal çarpanlarına ayırın (veya Euclid ile bölün).
- EBOB = ortak asalların küçük üslüleri.
- EBOB = 1 ise aralarında asaldır; değilse değildir.
- EKOK = a × b ÷ EBOB.
Sonuç
Aralarında asal sayılar, yalnızca 1'i ortak bölen olarak paylaşır; EBOB'ları 1'dir. Euclid algoritması ve asal çarpan gösterimi bu testi yapmanın iki güçlü yoludur. Denemek için Aralarında Asal mı? aracımıza göz atın.